分形滲流分析研究

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第一章  分形滲流分析研究

分形滲流是指分形孔隙介質(zhì)和分形裂縫介質(zhì)中流體的流動(dòng)，關(guān)于分形滲流的研究，近年來(lái)有了很大發(fā)展。

上世紀(jì)90年代，曾有人提出過(guò)一種分形滲流的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出了分形油藏的壓力擴(kuò)散方程。但是他們的模型中，有的分形參數(shù)物理意義不太明確，使用不便，受到了質(zhì)疑。

近10年國(guó)內(nèi)外在研究分形多孔介質(zhì)滲透率方面做了大量工作，這些文章的應(yīng)用背景大多偏向于塑料成型的模擬，基本不涉及分形油藏。研究的參數(shù)重點(diǎn)是針對(duì)一定的單元體的滲透率。對(duì)孔隙度研究較少，大多是給出一些半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的表達(dá)式。

針對(duì)分形油藏，對(duì)分形孔隙介質(zhì)和分形裂縫介質(zhì)給出了滲流速度、滲透率和孔隙度三個(gè)基本公式，建立起分形油藏中滲流的壓力擴(kuò)散方程，并求得了相應(yīng)的解析解，繪制出典型的壓力曲線。

著重對(duì)分形油藏的一些特性參數(shù)作進(jìn)一步的分析研究，討論了分形滲流與傳統(tǒng)達(dá)西滲流的某種相關(guān)性，建立起分形雙重介質(zhì)（裂縫和孔隙）中滲流的數(shù)學(xué)模型，對(duì)致密性油藏滲流的分析研究提供一種分析計(jì)算方法。

第一節(jié) 分型油藏的數(shù)學(xué)描述

為區(qū)別起見，將描述裂縫和孔隙介質(zhì)的參數(shù)分別用下標(biāo)1和2表示。眾所周知，將Navier-Stokes方程用于求解單位深度裂縫和圓截面毛管中流動(dòng)，可求得體積流量Q與壓力梯度 之間的關(guān)系式分別為：

                                                

                                               

其中 和 分別表示裂縫寬度和毛管直徑， 是裂縫的單位深度， 是流體粘度， 是壓力梯度�？紤]流動(dòng)路徑迂曲的分形特性，有：

                                

對(duì)于徑向流，上式中Ｌ應(yīng)改為ｒ，于是式和可分別寫成：

                                          

                                          

其中 稱為分形曲線的迂曲分維，L是沿流動(dòng)方向的外觀長(zhǎng)度， 是彎曲流線的有效長(zhǎng)度。

考慮通過(guò)垂直于流動(dòng)方向單位截面積 有大量的毛管，其最大直徑和最小直徑分別用 和 表示。管徑尺寸分布具有分形特性。即毛管累積數(shù) 與管徑 之間遵從以下標(biāo)度關(guān)系：

                                          

其中 是參考長(zhǎng)度， 稱為管徑分維。因而通過(guò)單位截面 毛管的累積數(shù)的微分 和毛管總數(shù) 分別為：

                                       

                                                

對(duì)于裂縫分形介質(zhì)，首先需對(duì)通過(guò)截面 的裂縫進(jìn)行量化。將裂縫沿流動(dòng)方向的尺度稱為裂縫長(zhǎng)度，將垂直于流動(dòng)方向的尺度稱為裂縫深度（無(wú)論是鉛垂或傾斜方向）。裂縫深度ｄ有大有小，設(shè)單位截面 上，同一寬度 ，不同深度的裂縫有ｎ條，將它們的深度相加，給出：

                                       

其中 為單位深度， 是 上寬度為 的諸裂縫深度之和折算為單位深度的條數(shù)，它是正數(shù)，但一般不是整數(shù)。類似地有：

                                         

                                       

                                                

其中 稱為縫寬分維。這樣量化的涵義是將裂縫介質(zhì)化為二維分形體。 和 分別為通過(guò)單位截面 上的最大和最小縫寬。

由Q對(duì) 從 到 積分，可給出滲流速度V（或比流量q）從而可定義出分形滲透率 。裂縫或毛管截面積乘以 對(duì) 積分，可給出孔隙度。這樣，可以得出分形油藏滲流的三個(gè)基本公式（以徑向流為例）寫成：

分形滲流速度：

                                                

分形滲透率：

                                             

分形孔隙度：

                                             

其中： ，j=1，2分別對(duì)應(yīng)于裂縫和孔隙介質(zhì)。 和 分別為滲透率常數(shù)和孔隙度常數(shù)。它們只與介質(zhì)本身的結(jié)構(gòu)特性有關(guān)。其中：

                           

                          

                                

                              

總流量：

                                      

式將為徑向流的內(nèi)邊界條件提供依據(jù)。

于是建立起分形油藏的壓力擴(kuò)散方程：

                                 

其中，常數(shù)m對(duì)平行流、平面徑向流和球心向心流分別為0、1和2。若考慮表皮S和儲(chǔ)集常數(shù) ，則無(wú)量綱的壓力擴(kuò)散方程和內(nèi)邊界條件可分別寫成：

                                    

                     

鉛直井的壓力分析的典型曲線如圖1所示。雖然分形滲流與經(jīng)典達(dá)西滲流的理論基礎(chǔ)不同，經(jīng)典滲流是建立在達(dá)西定律的基礎(chǔ)上，而分形滲流是基于介質(zhì)的分形理論和流體力學(xué)的Navier-Stokes方程，但是其數(shù)學(xué)描述普遍存在明顯的相關(guān)性。我們可以看到對(duì) 的極限情形，分形滲流的擴(kuò)散方程、內(nèi)邊界條件以及其它各式在形式上都退化為經(jīng)典滲流的情形。

圖1、不同組合參數(shù)下的典型曲線圖版

圖1、不同分形系數(shù)下的典型曲線圖版

第二節(jié) 分形參數(shù)的分析2.1 分形滲透率和分形孔隙度

分形滲透率K和分形孔隙度 各自由兩個(gè)因子的乘積給出，分別為滲透率常數(shù) 乘以 和孔隙度常數(shù) 乘以 ，其中第一個(gè)因子只與介質(zhì)的細(xì)觀結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，第二個(gè)因子含 ，它反映分形介質(zhì)的尺度效應(yīng)和迂曲效應(yīng)，是分形滲流的基本特性。它的力學(xué)解釋是：在毛管（或裂縫）的數(shù)目 和大小 和 確定的條件下，管道越迂曲（即 越大），則孔隙空間體積 占介質(zhì)整體空間 的比例越大，因而分形孔隙度越大；同時(shí)流體受到管壁的阻力也越大，因而分形滲透率越小。對(duì)于 即直管的特殊情形， ， ，式—簡(jiǎn)化為：